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segunda-feira, 7 de setembro de 2015

REGRAS PARA OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS

REGRAS PARA OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS

Se você ainda está com dúvidas nas operações com números inteiros, vai conseguir entender tudinho agora, com as excelentes explicações do Profº Guilherme
REGRA DE SINAL
Muitos alunos erram em sinais e em frações, talvez porque não entenderam bem ou por não ter sido bem explicado, um dos casos, talvez, seja a maneira pela qual é apresentada a regra de sinais, que muitas vezes confundem o aluno: "mais com mais", etc. Apresento aqui, a mesma e velha regra de sinais tentando diminuir as chances de erros do aluno. Primeiro, vamos lembrar que o erro se dá no sinal, então, devo lembrá-lo que antes de efetuar a conta tem que se pensar em qual sinal será obtido após a conta. 

Existem duas regras de sinais, vejamos:
Regra de sinal da Adição e Subtração
Exemplos
+ com + 

Você soma e mantém o sinal Sempre +
+2 + 2 = +4 . Neste caso, se você têm 2reais e ganhou mais 2reais, logo, você vai obter mais dinheiro e daí o resultado positivo +4
+  com –

Subtrai e Prevalece o sinal do maior módulo
+7 - 3= +4 , pois o 7 tem  maior módulo que o 3. Neste caso, é simples, você tem 7reais e comprou um suco que custa 3reais, se você tem 7 e vai pagar 3, ainda sobrou 4. Se sobrou é sinal que você tem a mais, logo +4.
-  com +

Subtrai e Prevalece o sinal do maior módulo
-8+5= -3 , pois o 8 tem maior módulo que 5. Neste caso, imagine que você deve para um colega 8reais, se deve, então, o sinal do 8 é negativo, -8, e se você dá a ele +5reais, logo, ainda faltam 3reais, se você ainda deve o sinal do 3 ficará negativo, assim -3.
- com –

Você soma* e mantém o sinal Sempre -

*soma: quer dizer, somar débito, somar sua divida.
-9 -9= -18, pois se você tem -9 com -9 você ficará com -18, negativo com negativo nesse caso continua negativo.
Imagine que você deva 9 reais na bomboniere, se você deve, o 9 fica negativo, assim -9. Logo, você voltou lá e o vendedor deixou você levar mais coisas e pagar depois, e você levou 9reais em mercadoria, logo, você está devendo mais 9reais. Como você já comprou 9reias da primeira vez e mais 9reais da segunda vez, você está em débito com o vendedor, então, lembre-se, negativo com negativo neste caso continua sendo negativo. Não se confunda com a outra regra de sinal a seguir, onde negativo com negativo virá positivo ok!

Regra de sinal da Multiplicação e Divisão
Multiplicação: é a soma de parcelas iguais.
Divisão: é a subtração de parcelas iguais.
Ou seja, existem apenas a adição e a subtração, a multiplicação e divisão é um jeito mais rápido para calcularmos!
Exemplos
A utilização dos parênteses é essencial para não confundir a ordem dos números e respeitar a regra de sinal.
+ com + 

Sempre +
(+2).(+2)= +4

Na divisão  
- com –

Sempre +
(-4).(-3)= +12  

Na divisão  
+  com –

Sempre -
(+3).(-2)= -6

Na divisão  
-  com +

 Sempre -
(-5).(+3)= -15

Na divisão  
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é:
1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos:
2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos:
(-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60
Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axba.b ou ainda absem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:
(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)
Com o uso das regras acima, podemos concluir que:
Na regra de Sinal da Multiplicação e Divisão, podemos analisar a tabela abaixo:
Sinais dos números
Resultado do produto
iguais
positivo
diferentes
negativo


MATEMÁTICA -- POTENCIAÇÃO

POTENCIAÇÃO


Em tempo: A explicação da fatoração em números primos
também é do Profº Caju,
veja na postagem Números Primos - M.D.C. e M.M.C.

Para indicar que um número está elevado à uma potencia qualquer, colocamos esta potência como expoente. Veja o exemplo.
5 elevado à potência 4
54
Quando dizemos que um número qualquer está "elevado à potencia 4", por exemplo, estamos dizendo que este número será multiplicado por ele mesmo 4 vezes. Vamos desenvolver o exemplo acima:
5= 5 · 5 · 5 · 5 = 625
Veja mais exemplos:
2= 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 512
33 = 3 · 3 · 3 = 27
8= 8 · 8 = 64
Genericamente podemos representar uma potência:


potenciação
Onde chamamos "X" de base e "n" de "expoente" ou "potência".
Com esta definição de potenciação, podemos efetuar algumas continhas utilizando estas potências. Por exemplo, podemos multiplicar 53 por 59.
Veja abaixo como fazer isso...

MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE
multiplicação de potências de mesma base


Esta é a primeira propriedade pois é a mais utilizada de todas.
Por exemplo, se aparecer o número 54 multiplicado por 53,

Esta é a operação que queremos efetuar. Vamos abrir a potência
Agora veja que esta multiplicação é igual à 5 elevado à potência sete. Este 7 veio da soma dos 4 fatores de 54 com os 3 fatores de 53
Daqui nós tiramos a regra para qualquer multiplicação de potências com mesma base.
Conserva-se a base e soma-se o expoente. Genericamente temos:
Esta é a regra"X" pode ser qualquer número (real, imaginário...), que a regra continuará valendo.
Conserva-se a base e soma-se os expoentes.
É muito importante entendê-la, pois é muito utilizada.
Note que a base deve ser a mesma nos fatores, e ela que aparecerá no produto.


DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE
divisão de potências de mesma baseO mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para a divisão.
O exemplo será 126 divididos por 122

Esta é a divisão que queremos efetuar. Vamos novamente abrir a potência.
Agora podemos cortar os termos semelhantes que estão acima e abaixo da fração.
Portanto podemos cortar dois fatores 12 de cima com dois fatores 12 de baixo.
potenciação
Ao cortar, estaremos retirando 2 unidades da potência de cima. Estas duas unidades são referentes ao expoente 2 da potência de baixo.
Veja que esta multiplicação é igual à 124 , isto nos dá a regra para qualquer divisão de potências com mesma base.
Conserva-se a base e subtrai-se os expoentes.
Genericamente, temos:
Novamente, "X" pode ser qualquer número (real, imaginário...) que a regra ainda vale. Estas são as duas regras mais utilizadas.


MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE
multiplicação de potências de mesmo expoentesAté agora vimos multiplicação e divisão com termos de mesma base. E quando não tiver mesma base??? O que podemos fazer?
Só podemos efetuar uma operação quando tivermos mesma base ou mesmo expoente. O que vamos ver agora é justamente o segundo caso: expoentes iguais.
O exemplo será 65multiplicados por 95:

Este é o exemplo. Agora vamos abrir as potências.
Qualquer multiplicação tem a propriedade de comutatividade, ou seja, se invertermos a ordem de multiplicação o valor não se altera. Então vamos colocar esta multiplicação em outra ordem.

Agora temos a multiplicação 6 · 9 aparecendo 5 vezes. Então
E esta propriedade podemos aplicar para qualquer número.
Conserva-se o expoente e multiplica-se a base.
Generalizando:

Os números "X" e "Y" podem ser quaisquer números do conjunto dos complexos.


DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE
divisão de potências de mesmo expoenteO mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para a divisão.
O exemplo será 84 divididos por 54:

Este é o exemplo que iremos usar. Vamos abrir as potências.
Como temos multiplicação em cima e em baixo da fração, podemos separar em 4 frações multiplicadas uma pela outra.
E isto é a fração  elevado na potência 4.
E esta propriedade pode se aplicar para quaisquer números do conjunto dos complexos. Generalizando,
Os números "X" e "Y" podem ser quaisquer números do conjunto dos números complexos.
Conserva-se o expoente e divide-se as bases.


POTÊNCIA DE POTÊNCIA
potência de potênciaPotência de PotênciaJá vimos as principais propriedades de operações.
Agora vamos ver quando tivermos uma potência de um número que já tem uma potência. Veja o exemplo:
(42)3
O que devemos fazer?
Vamos desenvolver este exemplo:

Vamos abrir a potência de dentro do parênteses
Agora a potência fora do parênteses diz que devemos multiplicar o que tem dentro do parênteses três vezes,
E isso nos dá a potência 46. E agora tiramos outra regra para potências.
Generalizando, ficamos com:
Onde "a" e "b" podem ser quaisquer números do conjunto dos complexos.
Potência de potência, multiplica-se os expoentes.




ATENÇÃO
Quando tivermos um número negativo elevado numa potência, devemos tomar a seguinte precaução, veja os exemplo:
(-5)2 = (-5) · (-5) = +25
(-2)= (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = +16
Note, então, que quando temos um número negativo elevado em qualquer expoente PAR este se comporta como se fosse positivo, pois na multiplicação "menos com menos dá mais":
(-5)2=52=25
(-2)4=24=16
Se "k" for PAR (-X)k=Xk
E se tivermos um expoente ímpar?
(-5)3=(-5)·(-5)·(-5)
Se pegarmos os dois primeiro números multiplicados, temos (-5)2=+25, substituindo ao lado:
(-5)3=25·(-5)=-125
Sempre que tivermos um número negativo elevado em qualquer expoente ÍMPAR, o sinal negativo permanece na resposta


PEGA-RATÃO
(-5)2 é totalmente diferente de -52 . No primeiro caso o sinal de menos também está elevado ao quadrado, então a resposta é +25. Já no segundo caso, o menos não está elevado ao quadrado, somente o 5, portanto a resposta é -25.

Com base nas operações com potências, existem algumas propriedades interessantes de serem vistas.

Qualquer número elevado à potência ZERO resulta 1.
Só não pode ser 00, pois este não existe!
Ex.:

A potência 1 indica que devemos multiplicar "a" por ele mesmo 1 única vez. Portanto, é o próprio "a".
Ex.:

A potência "n" indica quantas vezes o número 1 será multiplicado por ele mesmo, e não interessa quantas vezes seja, sempre será 1.
Ex.:

Idem ao de cima. Não interessa quantas vezes o zero seja multiplicado por ele mesmo, sempre será zero.
Lembre-se que não pode ser 00, pois não existe!
Ex.:

Sempre que tivermos um expoente negativo, este troca de numerador para denominador, ou seja, vai de cima da fração para de baixo da fração.
Ex.:

A regra acima também vale ao contrário. Se tivermos uma potência negativa no denominador, este se transforma em numerador ao trocar o sinal da potência.
Ex.:

Profº Caju tem um site para vestibulares, mas explica tão claramente
esta matéria, que qualquer adolescente poderá entendê-la, se você duvida, veja abaixo e depois se quiser visite o site (clique em estude on line)